Yaprağıñ Alanını Bulma (Tümlev Üzerine Aytış)

Önümdeki bitkiye öylece bakarken, birden yaprağı ilgimi çekti. Koparıp, biraz inceledim. O sıra, elimde tuttuğum yaprağıñ alanınıñ ne olduğu yönüñde düşünce usumdan géçince, bunu bulmaya çalıştım. Dördül, üçgen neyin déğil ki, bir iki çarpma, bölme ile alan bulayım.

Yıllarca kâğıt üzerinde eğitim görmeniñ soñucu olarak, uygulamalı bir alanda tosladım. Eğri büğrü biçimi olan bir nesneniñ alanını bulmak. İşte, bunu düşünürken tümlev ile yapabileceğimi buldum. Ne var ki, buradan soñra Oktay yardımcı oldu:

Oktay: şimdi
Oktay: sen diyorsun ki
Oktay: bir göndermeyi nasıl yazarız?
Oktay: elinde yaprak var
Oktay: bunu matematiğe dökmek istiyorsun?
Gökbey: evet 
Gökbey: öğbilimsel ilgim arttı
Gökbey:
:D
Oktay:
yaprak çok gerçek bir şey, onu matematikselleştirmeye
Oktay: "modelleme" deniyor
Oktay: fizikçiler doğayı modeller
Oktay: matematikçi yaprağın modeliyle uğraşmaz
Oktay: ama kabaca tarif edebilir
Oktay: yani fizikçi
Oktay: yaprağın her girinti çıkıntısını doğru bir şekilde betimlemek isteyecektir
Oktay: oysa matematikçi
Oktay: şöyle bir bakar yaprağa
Oktay: "tamam lan bunun şekli hede hödye benziyor" der
Gökbey: benim yaptığım gibi
Gökbey:
düz çiz gitsinOktay: evet
Oktay: buna da soyutlama deniyor
Gökbey: buraya dek anladım
Oktay:
fizikçiler modellemeye bundan başlar sonra ayrıntılrı doldurur
Oktay: örneğin en yüzeysel soyutlama
Oktay: direk yaprağın bir çember olduğunu düşünmek olurdu :)
Gökbey: :)
Oktay:
bu en boktan modeldir yani :D
Oktay: sonra dersin ki
Oktay: yaprağın ucu var
Oktay: sivri
Oktay: bunu bir kardoyite benetebilirsin
Oktay: kalp gibi bir şekli var
Oktay: ama yassılaştırırsan yaprağa benzeyecektir
Gökbey: doğru
Gökbey:
fonksiyon: işlev mi
Gökbey:
bu arada türkçesi
Oktay:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardioid
Oktay: gönderme (fonksiyon)
Oktay: diye kullanıyorum ben
Oktay: Ali Nesin türetmiştir
Gökbey: işlev neydi
Gökbey:
başka bir kavram mıOktay: işlev de başka bir türetim
Oktay: Timur Karaçay'ın sanırım
Gökbey: añladım
Oktay:
Matematik Terimleri Sözlüğü
Gökbey: bu elmamsı nesneyi de añladım
Oktay:
ama işlev çok kısıtlı geliyor bana gönderme daha matematiksel
Gökbey: yeğ sorunu démek ;)Oktay: işte bu şekidle istediğin gibi düşünebilirsin
Oktay: alanını hesaplamak için
Oktay: tümlev kullanırsın
Oktay: tümlev, özünde bir toplama işlemidir
Gökbey: tümleme > tümlevGökbey: toplav olmalıydı belki?
Oktay:
o yaprağı bölümlere ayırırsın
Oktay: hayır
Oktay: tümlev, toplamadan fazlası
Oktay: ama özünde toplama yapıyorsun
Oktay: sadece limit alıyorsun
Oktay: yani şöyle
Oktay: yaprağı alıyorsun
Oktay: dilimliyorsun
Oktay: her diliminin alanını hesaplıyorsun
Gökbey: yürek eğrisi diyormuşuz biz - kordiyoit
Oktay:
sonra bu dilimleri topluyorsun diyelim
Oktay: ancak bu dilimler çok kaba dilimler
Gökbey: dilimlemeyi añladım, peki eğrili kesimler?Oktay: işte eğrili olmamış olur bu şekidle yapınca
Oktay: sanki bilgisayarda piksel piksel çiziyormuş gibi
Oktay: kare kare olur hep
Oktay: ancak
Oktay: eğer dilimin kalınlığını küçültürsen (bu yüzden daha çok dilim olacaktır)
Oktay: bu kez biraz daha yaklaşırsın asıl şekle
Oktay: çözünürlüğü yükseltmek gibi
Oktay: o kare kare şeyler ancak yakından bakınca görünüyordur falan
Oktay: şimdi bunu limite götürelim
Oktay: yani dilimleri sonsuz küçük kalınlıkta yapalım
Oktay: dilimleri sıfır kalınlığa götürdükçe, dilim sayısını sonsuza götürmüş oluyorsun
Oktay: dilim sayısını sonsuza götürme işlemiyle birlikte bu toplamayı yaparsan tümlev yapmış olursun
Oktay: bir örnek yapalım
Oktay: olru mu?
Gökbey: olurOktay: dilimleri dikdörtgeneler ayırdık diyelim
Oktay: (yamuklara da ayırabilirdik)
Oktay: (ya da arazi ölçümlerindeki gibi üçgenlere)
Oktay: dikdörtgenin alanı nedir?
Gökbey: abOktay: yükseklik x genişlik
Oktay: genişlik, dilimin kalınlığı
Oktay: yaprağı böyle yukarıdan aşağı dilimledik diyelim
Oktay: dilimler dikey dursunlar
Oktay: ||||||| gibi
Gökbey: olur
Oktay:
yaprağın yataydaki uzunluğuna L diyelim
Oktay: yani sağdan sola ölçünce L uzunluğunda olsun
Oktay: o yüzden tüm dilimlerin kalınlıkları toplamı L
Gökbey: evetOktay: dur çizim yapayım, deneme olsun
Gökbey: sen dérken ben çiziyorum :)Oktay:
Oktay: :D
Gökbey: muhahahaha :DOktay: çok boktan oldu
Gökbey: tosbağaOktay: neyse
Oktay: hehe
Oktay: ızgara :D
Gökbey: :)
Oktay:
neyse
Oktay: şimdi kaç dilim olsun? n tane
Oktay: o zaman her dilimin kalınlığı: L/n
Oktay: hatta L=a-b olsun
Oktay: bir ucunun koordinatı a diğerininki b
Gökbey: [a,b]
Oktay:
dilim kalınlığı = (a-b)/n
Gökbey: soñra
Oktay:
bu parçaya D diyeyim, dilim kalınlığı
Oktay: her seferinde yazmamak için :)
Gökbey: olurOktay: D = (a-b)/n dilim kalınlığı
Oktay: her dilimin alanı neydi?
Oktay: Dilim Alanı = yükseklik x D
Oktay: yüksekliği nasıl belirleyeceğiz
Oktay: işte gönderme burada devreye giriyor
Oktay: çünkü elimizde gönderme var
Oktay: f( x )
Gökbey: evet, ilgimi eñ çok çeken yérOktay:
Oktay: gönderme bize şunu diyor:
Oktay: verilen bir x koordinatını f( x) değerine GÖNDERİRİM.
Gökbey: añladım
Oktay:
o halde
Oktay: o eğrinin x noktasındaki yüksekliği değil midir f( x ) ?
Gökbey: tepe noktası mı?
Oktay:
oradaki dikey giden nokta nokta çizginin yükseliği
Oktay: yatay giden çizginin eksendeki değerine eşit değil mi
Oktay: yani çizeyim:
Gökbey: alacağımız x değeri, tepe noktası ile x oku arasındaki uzunluk déğil mi?
Oktay:

Oktay: bu iki uzaklık aynı değil midir?
Gökbey: birdir
Oktay:
o yüzden f( x ) oluyor o mesafe
Oktay: o noktanın yüksekliği, f( x ) 'e eşit
Oktay: bu tamam di' mi?
Gökbey: biraz daha üst kesimi için, örneğin c noktası (c>x) f(c) olurduGökbey: öyle mi?Oktay: evet
Gökbey: f( c )
Gökbey:
añladım
Oktay:
o x, sağa ve sola kaydırıldıkça onun f değerini verecektir
Oktay: şimdi elimizde dilimlerin (x ekseninden itibaren) olan yükseklikleri de var: f( x )
Oktay: Dilim Alanı = f ( x ) . D
Oktay: oldu
Oktay: değil mi
Gökbey: haha :) böylesi kolaymış démek
Oktay:
:)
Oktay: şimdi dilimlerin alanlarını toplayacağız!
Oktay: TOPLAM f( x ) D
Oktay: Alan = TOPLA f( x ) D
Oktay: D=(a-b)/n
Oktay: dedik ki, n sonsuza giderse, yani dilim sayısını sonsuz tane yaparsak
Oktay: o zaman dilim kalınlığı sıfıra yaklaşır
Oktay: çözünürlüğü sonsuza götürmüş gibi oluruz
Gökbey: toplam dédiğiñ Σ ile mi?Oktay: evet
Oktay: LİMİT n sonsuza giderse: D --> dx
Oktay: değil mi?
Oktay: dilim kalınlığı sıfıra gider
Gökbey: öyle...
Oktay:
yani sonsuz küçük olur: dx
Oktay: diferansiyel.
Oktay: o halde
Oktay: Alan = Limit (n -> oo) Σ f( x ) D
Oktay: bu limiti şöyle yazarız:
Gökbey: bediz çiz istersen
Oktay:
Alan = lim Σ f(x ) dx
Gökbey: Σ 'nıñ değerleri ne olacak?
Gökbey:
altına üstüne sayılar koyuyorduk
Gökbey:
:)
Oktay:

Oktay: toplam simgesinden sonraki kısım her dilimin alanı
Oktay: onu topladık ve n = sonsuzdaki limitini aldık
Oktay: her şey doğru dimi
Gökbey: sorun yok
Oktay:
işte
Oktay: buna kısaca tümlev diyoruz :)
Oktay: (a-b)/n ---> dx
Gökbey: vay anasını :)Oktay: limit ve toplam simgesi yerine de dalgalı bir şey yazıyoruz
Gökbey: yaz da, tam olsun
Oktay:

Oktay: ya diz üstünden yazmak çok zor :)
Oktay: A = int f( x ) dx
Oktay: işte :D
Oktay: yani
Gökbey: eline sağlık :)
Oktay:
TÜMLEV, sonsuz küçüklerin TOPLAMIdır
Gökbey: çok güzel, böylesine eğlenceli öğbilim öğreneğim olmamıştı
Gökbey:
;)Oktay: öğrenek = ders mi :)
Oktay: güzelmiş :D
Gökbey: evet, yörelerden birinde vardıOktay: hadi ya
Oktay: o zaman süepr
Gökbey: peki, f(x)=3x+2y-7 diye bir işlev olsunGökbey: bunuñ bu değerleri nereden geldi?Gökbey: x ile y'yi añlarım
Gökbey:
az önce yaptığımız gibi
Gökbey:
sabit sayı nereden geldi?Oktay: y olması durumunda
Oktay: f(x,y) dersin
Oktay: f(x,y) = 3x +2y -7
Oktay: bu bir gönderme
Oktay: sabit kısmı var
Gökbey: yok yok, yalnızca f(x )
Oktay:
x=y=0 verdiğinde bulacağın değer
Gökbey: ayraç içine y'yi koyma
Oktay:
iyi de olmaz ki
Oktay: y değişken ise gönderme y'ye de bağlıdır demek
Gökbey: bétiklerde vérilenler ne peki?
Oktay:
böyle bir gösterim yanlıştır
Oktay: ya da y değişkeni de x'e bağlı olmak zorundadır
Gökbey: bétiklerde yañlış bir kullanım olduğundan söz édiyorsuñ
Oktay:
evet
Gökbey: ancak, f(x,y) olması gerekirOktay: evet
Oktay: iki değişkenli bir gönderme
Gökbey: f(x ) déseler de, ben öyle bilmeliyim
Gökbey:
soñda vérilen sabit sayı ise, (x,y) değerlerini kofa éşitleyen değerdir
Gökbey:
doğru mu?Oktay: çünkü iki değişkenli bir göndermenin alanı değil hacmini hesaplarsın...
Gökbey: kof: sıfır 0
Oktay:
sabit değer sabit değerdir
Oktay: yani şöyle bir gönderme de olabilir
Oktay: f( x ) = 8
Oktay: bu şu demek: x ne olursa olsun f nin değeri hep 8
Oktay: buun grafiği şudur:
Oktay:
Oktay: buna sabit gönderme deniyor
Gökbey: añladım da, x-y değeri olduğundaOktay: şimdi diyelim ki
Gökbey: o sayı neye göre belirleniyor?Oktay: f ( x ) = 3x + 6
Oktay: bunun 3x'ten farkına bakalım
Oktay: yani
Oktay: g ( x ) = 3x
Oktay: bu iki gönderme arasında nasıl bir fark var
Gökbey: +6 yı görüyorumOktay: sabit değeri, f eşitliğinde sola at
Oktay: f( x ) - 6 = 3x
Oktay: o halde
Oktay: g( x ) = f( x ) - 6
Oktay: olduğunu görürsün
Oktay: yani
Oktay: f göndermesi, g göndermesinin 6 birim kaydırılmış hali
Oktay: g göndermesi nasıl bir şekle sahipse, f göndermesi de o şekle sahiptir
Oktay: ama 6 birim sağa kaymış halidir
Oktay: sağa mı sola mı kaydığını şu şekilde görebilirsin:
Gökbey: o değer özüñde,
Gökbey:
y oku üzerindeki yérini gösteriyor
Gökbey:
öyle mi?
Oktay:
evet
Oktay: sağ sol dememem lazım, yukarı aşağı :D
Gökbey: añladım...
Oktay:
6 birim yukarı.
Oktay: bunu da şöyle anlıyorsun
Oktay: x=0 verelim
Oktay: g( 0 ) = f( 0 ) - 6
Oktay: g'nin sıfırdaki değeri (yani eksendeki değeri)
Gökbey: x okundan aşağıda kalır
Oktay:
f'nin eksendeki değerinden 6 birim eksikmiş
Gökbey: añladım...Gökbey: peki, tümlev sorularıñda bize vérilen tekli işlevOktay:
Gökbey: sorunuñ, daha doğrusu bizden isteneniñ yüzeysel, ottan boktan biçimi midir?
Oktay:
evet
Gökbey: tekli işlev vériyorlar; f(x )=3x^2+3y+5 ulayı [a,b] ise bilmem daha ne...
Gökbey:
alanı bulunuz.
Gökbey:
şimdilik buraya değin yéter...
Gökbey:
;)
Oktay:
şimdi şunu belirteyim
Oktay: eğer elinde iki deişkenli bir gönderme varsa
Oktay: bunun sadece birine göre tümlevinden söz edebilirsin
Oktay: ya dx ya dy
Oktay: bunlardan birini yaparken, mesela dx tümlevinden söz edelim
Oktay: o zaman y sabitmiş gibi görülür
Oktay: dy alırsan da x sabitmiş gibi görülür
Gökbey: añladım.
Gökbey:
birincigün sınavımız var
Gökbey:
türev ile tümlev üzerine kurulu konular :)
Gökbey:
bu arada azerbaycanda toplum arasında gün adları sayıyla belirleniyor
Gökbey:
yazın dillerinde yok
Gökbey:
bu kötü
Oktay:
hadi ya
Oktay: birincigün ikincigün vs mi?
Gökbey: evet 
Gökbey: benzer durum ığdırda da var; ay adları için
Gökbey:
birinciay, yédinciay...
Gökbey:
ikisini birleştirsek ;)Gökbey: bahadır çiğşi yazmasında vardı ya; beşinci ay, onsekizine bilgi
Oktay:
:D:D
Oktay: evet
Gökbey: ben olurunla çıkıyorum
Gökbey:
çay arası vereyim ;)

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder